Legge di Murphy:
Se ci sono due o più modi di fare una cosa, e uno di questi modi può condurre ad una catastrofe, allora qualcuno la farà in quel modo.
Legge di Gumperson:
La probabilità che qualcosa accada è inversamente proporzionale alla sua desiderabilità.
Rasoio di Ockham:
A parità di fattori la spiegazione più semplice è da preferire.
Rasoio di Hanlon:
Considera, come causa di una fattispecie, l'ipotesi più immediatamente verosimile rispetto a quella meno probabile.
Paradosso di Anfibio:
Immaginiamo che una pozza d'acqua contente Anfibio, un girino, sia filmata per tre settimane di seguito. Alla fine della terza settimana, lo stagno contiene una rana. Posto che la cinepresa funzioni esattamente a ventiquattro fotogrammi al secondo, si avranno circa 43 milioni e mezzo di fotogrammi. Supponiamo ora che essi siano numerati da 1 a 43.500.00, nell'ordine incui sono stati filmati. Sembra ovvio che nel fotogramma 1 si veda un girino, mentre non lo si vede più nell'ultimo fotogramma.
Tuttavia, se è così, ne segue logicamente che, nella sequenza, deve esistere un fotrogramma in cui si vede un girino, seguito immediatamente da uno in cui si vede una rana. La validità del ragionamento è un risultato dell'applicazione del principio del numero minimo, un teorema di lgoica matematica secondo cui, in qualunque serie da 1 a n , se 1 ha un certo predicato, o particolari caratteristiche, e n non le ha, deve esistere un "primo numero" (entro l'insieme dei numeri che costituiscono la serie) che non abbia tale predicato. In altre parole, ci sarà un fotogramma che mostra un girino e, dopo un ventiquattresimo di secondo, il successivo fotogramma mostrerà una rana. La maggior parte delle persone dubita dell'esistenza di tale fotogramma: infatti, come si dovrà fare per individuarlo?
Paradosso del Grand Hotel di Hilbert:
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungano, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito.
Nel caso semplice, arriva un singolo nuovo ospite. Il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva (l'ospite della 1 alla 2, quello della 2 alla 3, etc.); in questo modo, benché l'albergo fosse pieno è comunque, essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.
Un caso meno intuitivo si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti (già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene allora Hilbert che la soluzione sta semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, etc.), lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti, risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono tutti dunque sistemati, benché l'albergo fosse pieno.
Ancora più difficile: ci sono infiniti alberghi con infinite stanze tutti al completo. Tutti gli alberghi chiudono, tranne uno. Tutti gli ospiti vogliono alloggiare nell'unico albergo rimasto aperto. Sarebbe possibile procedere come prima, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti. Un modo alternativo, invece, è di assegnare ad ogni persona una coppia di numeri (n,m) in cui n indica l'albergo di provenienza, e m la relativa stanza.
Primo Paradosso contro il pluralismo di Zenone di Elea: Se le cose sono molte, esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.
Secondo Paradosso contro il pluralismo di Zenone di Elea: Se le unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.
Paradosso dello stadio di Zenone di Elea: Non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso; ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via, senza quindi mai riuscire nemmeno a iniziare la corsa.
Paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone di Elea: Se Achille (detto "pie' veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, poiché Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione, che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.
Paradosso della freccia di Zenone di Elea: In ogni istante difatti essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi.
Paradosso delle due masse nello stadio di Zenone di Elea: Consideriamo infatti tre segmenti (A, B, C) uguali e paralleli, che si trovino allineati. Supponiamo poi che il segmento in alto (A) si muova verso destra, rispetto a quello situato nel centro (B) che resta fermo, e che per ogni istante elementare avanzi di un intervallo (elementare). Il segmento in basso (C) faccia invece la stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo istante avremo che i punti iniziali di A e C si saranno allontanati di due intervalli. Ma ciò è assurdo perché allora il tempo che avrebbero impiegato per allontanarsi di un solo intervallo sarebbe di "mezzo istante", contraddicendo l'ipotesi che stiamo analizzando la situazione al primo istante (indivisibile).
Paradosso di Abilene:Una tranquilla famiglia americana composta da una ragazza, dal marito e dai genitori di lei, stava trascorrendo un afoso pomeriggio estivo a Coleman nel Texas, in una bella casa con giardino, aria condizionata e piscina. Erano in veranda e giocavano a carte. In un momento in cui la conversazione languiva, il suocero se ne uscì con un "Che ne direste di andarcene tutti a cena ad Abilene?" La ragazza, per compiacere il padre, subito disse "Mi pare una bella idea!". Il marito, che pensava alle oltre 50 miglia da passare alla guida con quel caldo, ma non voleva contrastare il suocero, disse alla suocera "Se anche tu sei d'accordo potremmo metterci in macchina". E la suocera "Certo che vengo volentieri, è da parecchio che non vado ad Abilene."
Detto fatto si misero in cammino. Il viaggio fu caldo, polveroso, e con molto traffico. Ad Abilene cercarono una pizzeria per mangiare e dopo vari giri per trovare un parcheggio finirono in una trattoria messicana dove mangiarono male e spesero uno sproposito. Sulla via del ritorno bucarono una gomma e stentarono a trovare una stazione di servizio che li aiutasse. Dopo quattro ore si ritrovarono a casa accaldati, stanchi e delusi. Erano sdraiati sui divani ed il vecchio azzardò ambiguamente "È stato un bel tragitto!". La suocera disse che avrebbe preferito rimanere a casa ma che non voleva raffreddare l'entusiasmo degli altri. Anche il marito disse che aveva accettato solo per compiacere gli altri tre. La ragazza aggiunse "Dovevamo essere pazzi a metterci in macchina con questo caldo!". Concluse il suocero "Io l'ho proposto perché mi sembravate annoiati."
Paradosso dell'ascensore:Si supponga di abitare al penultimo piano di un palazzo di sette piani; chiamando da lì l'ascensore, esso giungerà più spesso (circa 5/6 delle volte) dal basso che dall'alto. Questo fenomeno è facilmente spiegabile: l'ascensore viene utilizzato equamente dagli inquilini dei vari piani, e quindi passa più tempo nei primi 5 piani che nell'ultimo.
In un grande albergo, sempre di 7 piani ma con 5 ascensori invece che uno, tutti e 5 utilizzati in modo indifferenziato dagli ospiti dei vari piani, il fenomeno sarà quasi scomparso.
Paradosso dell'avvocato:Protagora avrebbe formato agli studi di legge, come istitutore, un giovane promettente, Evatlo (Euathlus), dal quale ebbe solo la metà di quanto richiesto per le lezioni e col quale stabilì che il resto sarebbe stato saldato dopo che questi avesse vinto la sua prima causa.
Ma Evatlo non cominciò la professione di avvocato, anzi si diede alla politica, e non avendo vinto la sua prima causa poiché non ne aveva mai fatte, Protagora non veniva pagato; quest'ultimo lo convenne dunque in giudizio per essere saldato del prezzo delle sue lezioni.
Il giovane decise di difendersi da solo, divenendo perciò avvocato di sé medesimo, e creando questa situazione di indeterminatezza:
Secondo Protagora:
Se, come apparirebbe plausibile, il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade gli uomini che non si radono da soli. Se invece il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che però è lui stesso: in entrambi i casi si cade in una contraddizione.
Paradosso di Berry:Sia N il numero (evidentemente finito) di parole (non importa se articoli, sostantivi, verbi, preposizioni ecc.) in un dato dizionario della lingua italiana, cui aggiungiamo l'insieme di simboli contenuti in un dato testo di matematica e sia H l'insieme (anch'esso finito) delle frasi componibili con al più, diciamo, 50 parole e simboli.
Consideriamo ora in H tutte quelle frasi che definiscono correttamente dei numeri interi positivi (un esempio è: tre è il numero immediatamente successivo a due, un altro: tre è il secondo numero che incontriamo nella successione dei numeri primi e così via). Sia K il numero di frasi con meno di 50 parole che definiscono correttamente numeri naturali. Poiché K è finito l'insieme dei numeri definiti che troviamo in esso è anch'esso finito e possiamo individuare il più grande di tali numeri: chiamiamolo b.Consideriamo ora la frase:
b+1 è il numero naturale successivo al più grande numero definibile con una frase contenente al massimo cinquanta parole.Essa è una frase con meno di 50 parole (19, per la esattezza) che definisce b + 1, dunque anche b + 1 dovrebbe appartenere alla classe dei numeri definibili con meno di 50 parole!
Paradosso del bibliotecario:Al responsabile di una grande biblioteca viene affidato il compito di produrre gli opportuni cataloghi. Egli compie una prima catalogazione per titoli, poi per autori, poi per argomenti, poi per numero di pagine e così via. Poiché i cataloghi si moltiplicano, il nostro bibliotecario provvede a stendere il catalogo di tutti i cataloghi. A questo punto nasce una constatazione. La maggior parte dei cataloghi non riportano sé stessi, ma ve ne sono alcuni (quali il catalogo di tutti i volumi con meno di 5000 pagine, il catalogo di tutti i cataloghi, ecc.) che riportano sé stessi. Per eccesso di zelo, lo scrupoloso bibliotecario decide, a questo punto, di costruire il catalogo di tutti cataloghi che non includono sé stessi. Il giorno seguente, dopo una notte insonne passata nel dubbio se tale nuovo catalogo dovesse o non dovesse includere sé stesso, il nostro bibliotecario chiede di essere dispensato dall'incarico.
Paradosso di Buridano:Un asino affamato e assetato è accovacciato esattamente tra due mucchi di fieno con, vicino a ognuno, un secchio d'acqua, ma non c'è niente che lo determini ad andare da una parte piuttosto che dall'altra. Perciò, resta fermo e muore.
Paradosso delle due buste:In un ipotetico gioco a premi, al concorrente vengono presentate due buste chiuse, ciascuna contenente l'indicazione di un premio in denaro, che il concorrente riceverà, se la sceglie. È noto che il valore indicato in una busta è esattamente il doppio di quello dell'altra, ma non si sa quale delle due contenga il premio maggiore.
Il concorrente può ottenere il premio di una sola busta, ma gli viene data la possibilità di effettuare la scelta definitiva anche dopo aver aperto a suo piacere una busta ed averne visto il valore.
Paradosso del Comma 22:Articolo 12, Comma 21
Paradosso dei corvi di Hempel:
Paradosso di Curry:
Paradosso di Downs e Thomson (o di Pigou, Knight e Downs):
Paradosso di Epicuro:Il paradosso si basa su alcune domande (anche rese affermazioni), attraverso le quali Epicuro procede per gradi fino a rendere, appunto, paradossale il concetto di Dio.
Le domande sono le seguenti;
Questa è la conclusione alla quale giunge Epicuro al termine di queste ipotesi.
Paradosso del mentitore (o di Epimenide):Data una proposizione autonegante come "Questa frase è falsa", nessuno riuscirà mai a dimostrare se tale affermazione sia vera o falsa;
se infatti fosse vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa (la verità della proposizione non invalida la falsità espressa nel contenuto della proposizione).
se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse "Questa frase è vera") quando abbiamo appena affermato il contrario.
Paradosso di Fermi:
"Dove sono tutti quanti? Se ci sono così tante civiltà evolute, perché non abbiamo ancora ricevuto prove di vita extraterrestre come trasmissioni di segnali radio, sonde o navi spaziali?". Estremizzando la questione, il problema diventa se noi esseri umani siamo la sola civiltà tecnologicamente avanzata dell'Universo. Questo problema viene usualmente posto come monito alle stime più ottimistiche dell'equazione di Drake, che proporrebbero un universo ricco di pianeti con civiltà avanzate, in grado di stabilire comunicazioni radio, inviare sonde o colonizzare altri mondi.
Se ci sono due o più modi di fare una cosa, e uno di questi modi può condurre ad una catastrofe, allora qualcuno la farà in quel modo.
Legge di Gumperson:
La probabilità che qualcosa accada è inversamente proporzionale alla sua desiderabilità.
Rasoio di Ockham:
A parità di fattori la spiegazione più semplice è da preferire.
Rasoio di Hanlon:
Considera, come causa di una fattispecie, l'ipotesi più immediatamente verosimile rispetto a quella meno probabile.
Paradosso di Anfibio:
Immaginiamo che una pozza d'acqua contente Anfibio, un girino, sia filmata per tre settimane di seguito. Alla fine della terza settimana, lo stagno contiene una rana. Posto che la cinepresa funzioni esattamente a ventiquattro fotogrammi al secondo, si avranno circa 43 milioni e mezzo di fotogrammi. Supponiamo ora che essi siano numerati da 1 a 43.500.00, nell'ordine incui sono stati filmati. Sembra ovvio che nel fotogramma 1 si veda un girino, mentre non lo si vede più nell'ultimo fotogramma.
Tuttavia, se è così, ne segue logicamente che, nella sequenza, deve esistere un fotrogramma in cui si vede un girino, seguito immediatamente da uno in cui si vede una rana. La validità del ragionamento è un risultato dell'applicazione del principio del numero minimo, un teorema di lgoica matematica secondo cui, in qualunque serie da 1 a n , se 1 ha un certo predicato, o particolari caratteristiche, e n non le ha, deve esistere un "primo numero" (entro l'insieme dei numeri che costituiscono la serie) che non abbia tale predicato. In altre parole, ci sarà un fotogramma che mostra un girino e, dopo un ventiquattresimo di secondo, il successivo fotogramma mostrerà una rana. La maggior parte delle persone dubita dell'esistenza di tale fotogramma: infatti, come si dovrà fare per individuarlo?
Paradosso del Grand Hotel di Hilbert:
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungano, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito.
Nel caso semplice, arriva un singolo nuovo ospite. Il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva (l'ospite della 1 alla 2, quello della 2 alla 3, etc.); in questo modo, benché l'albergo fosse pieno è comunque, essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.
Un caso meno intuitivo si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti (già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene allora Hilbert che la soluzione sta semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, etc.), lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti, risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono tutti dunque sistemati, benché l'albergo fosse pieno.
Ancora più difficile: ci sono infiniti alberghi con infinite stanze tutti al completo. Tutti gli alberghi chiudono, tranne uno. Tutti gli ospiti vogliono alloggiare nell'unico albergo rimasto aperto. Sarebbe possibile procedere come prima, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti. Un modo alternativo, invece, è di assegnare ad ogni persona una coppia di numeri (n,m) in cui n indica l'albergo di provenienza, e m la relativa stanza.
Primo Paradosso contro il pluralismo di Zenone di Elea: Se le cose sono molte, esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.
Secondo Paradosso contro il pluralismo di Zenone di Elea: Se le unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.
Paradosso dello stadio di Zenone di Elea: Non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso; ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via, senza quindi mai riuscire nemmeno a iniziare la corsa.
Paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone di Elea: Se Achille (detto "pie' veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, poiché Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione, che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.
Paradosso della freccia di Zenone di Elea: In ogni istante difatti essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi.
Paradosso delle due masse nello stadio di Zenone di Elea: Consideriamo infatti tre segmenti (A, B, C) uguali e paralleli, che si trovino allineati. Supponiamo poi che il segmento in alto (A) si muova verso destra, rispetto a quello situato nel centro (B) che resta fermo, e che per ogni istante elementare avanzi di un intervallo (elementare). Il segmento in basso (C) faccia invece la stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo istante avremo che i punti iniziali di A e C si saranno allontanati di due intervalli. Ma ciò è assurdo perché allora il tempo che avrebbero impiegato per allontanarsi di un solo intervallo sarebbe di "mezzo istante", contraddicendo l'ipotesi che stiamo analizzando la situazione al primo istante (indivisibile).
Paradosso di Abilene:Una tranquilla famiglia americana composta da una ragazza, dal marito e dai genitori di lei, stava trascorrendo un afoso pomeriggio estivo a Coleman nel Texas, in una bella casa con giardino, aria condizionata e piscina. Erano in veranda e giocavano a carte. In un momento in cui la conversazione languiva, il suocero se ne uscì con un "Che ne direste di andarcene tutti a cena ad Abilene?" La ragazza, per compiacere il padre, subito disse "Mi pare una bella idea!". Il marito, che pensava alle oltre 50 miglia da passare alla guida con quel caldo, ma non voleva contrastare il suocero, disse alla suocera "Se anche tu sei d'accordo potremmo metterci in macchina". E la suocera "Certo che vengo volentieri, è da parecchio che non vado ad Abilene."
Detto fatto si misero in cammino. Il viaggio fu caldo, polveroso, e con molto traffico. Ad Abilene cercarono una pizzeria per mangiare e dopo vari giri per trovare un parcheggio finirono in una trattoria messicana dove mangiarono male e spesero uno sproposito. Sulla via del ritorno bucarono una gomma e stentarono a trovare una stazione di servizio che li aiutasse. Dopo quattro ore si ritrovarono a casa accaldati, stanchi e delusi. Erano sdraiati sui divani ed il vecchio azzardò ambiguamente "È stato un bel tragitto!". La suocera disse che avrebbe preferito rimanere a casa ma che non voleva raffreddare l'entusiasmo degli altri. Anche il marito disse che aveva accettato solo per compiacere gli altri tre. La ragazza aggiunse "Dovevamo essere pazzi a metterci in macchina con questo caldo!". Concluse il suocero "Io l'ho proposto perché mi sembravate annoiati."
Paradosso dell'ascensore:Si supponga di abitare al penultimo piano di un palazzo di sette piani; chiamando da lì l'ascensore, esso giungerà più spesso (circa 5/6 delle volte) dal basso che dall'alto. Questo fenomeno è facilmente spiegabile: l'ascensore viene utilizzato equamente dagli inquilini dei vari piani, e quindi passa più tempo nei primi 5 piani che nell'ultimo.
In un grande albergo, sempre di 7 piani ma con 5 ascensori invece che uno, tutti e 5 utilizzati in modo indifferenziato dagli ospiti dei vari piani, il fenomeno sarà quasi scomparso.
Paradosso dell'avvocato:Protagora avrebbe formato agli studi di legge, come istitutore, un giovane promettente, Evatlo (Euathlus), dal quale ebbe solo la metà di quanto richiesto per le lezioni e col quale stabilì che il resto sarebbe stato saldato dopo che questi avesse vinto la sua prima causa.
Ma Evatlo non cominciò la professione di avvocato, anzi si diede alla politica, e non avendo vinto la sua prima causa poiché non ne aveva mai fatte, Protagora non veniva pagato; quest'ultimo lo convenne dunque in giudizio per essere saldato del prezzo delle sue lezioni.
Il giovane decise di difendersi da solo, divenendo perciò avvocato di sé medesimo, e creando questa situazione di indeterminatezza:
Secondo Protagora:
- se Evatlo avesse vinto, avrebbe dovuto pagarlo in base all'accordo, perché avrebbe vinto la sua prima causa;
- se Evatlo avesse perso, avrebbe dovuto pagarlo comunque per effetto della sentenza.
- se Evatlo avesse vinto, non avrebbe dovuto pagare Protagora per effetto della sentenza;
- se Evatlo avesse perso, non avrebbe dovuto pagare Protagora perché in base all'accordo non aveva vinto la sua prima causa.
Se, come apparirebbe plausibile, il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade gli uomini che non si radono da soli. Se invece il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che però è lui stesso: in entrambi i casi si cade in una contraddizione.
Paradosso di Berry:Sia N il numero (evidentemente finito) di parole (non importa se articoli, sostantivi, verbi, preposizioni ecc.) in un dato dizionario della lingua italiana, cui aggiungiamo l'insieme di simboli contenuti in un dato testo di matematica e sia H l'insieme (anch'esso finito) delle frasi componibili con al più, diciamo, 50 parole e simboli.
Consideriamo ora in H tutte quelle frasi che definiscono correttamente dei numeri interi positivi (un esempio è: tre è il numero immediatamente successivo a due, un altro: tre è il secondo numero che incontriamo nella successione dei numeri primi e così via). Sia K il numero di frasi con meno di 50 parole che definiscono correttamente numeri naturali. Poiché K è finito l'insieme dei numeri definiti che troviamo in esso è anch'esso finito e possiamo individuare il più grande di tali numeri: chiamiamolo b.Consideriamo ora la frase:
b+1 è il numero naturale successivo al più grande numero definibile con una frase contenente al massimo cinquanta parole.Essa è una frase con meno di 50 parole (19, per la esattezza) che definisce b + 1, dunque anche b + 1 dovrebbe appartenere alla classe dei numeri definibili con meno di 50 parole!
Paradosso del bibliotecario:Al responsabile di una grande biblioteca viene affidato il compito di produrre gli opportuni cataloghi. Egli compie una prima catalogazione per titoli, poi per autori, poi per argomenti, poi per numero di pagine e così via. Poiché i cataloghi si moltiplicano, il nostro bibliotecario provvede a stendere il catalogo di tutti i cataloghi. A questo punto nasce una constatazione. La maggior parte dei cataloghi non riportano sé stessi, ma ve ne sono alcuni (quali il catalogo di tutti i volumi con meno di 5000 pagine, il catalogo di tutti i cataloghi, ecc.) che riportano sé stessi. Per eccesso di zelo, lo scrupoloso bibliotecario decide, a questo punto, di costruire il catalogo di tutti cataloghi che non includono sé stessi. Il giorno seguente, dopo una notte insonne passata nel dubbio se tale nuovo catalogo dovesse o non dovesse includere sé stesso, il nostro bibliotecario chiede di essere dispensato dall'incarico.
Paradosso di Buridano:Un asino affamato e assetato è accovacciato esattamente tra due mucchi di fieno con, vicino a ognuno, un secchio d'acqua, ma non c'è niente che lo determini ad andare da una parte piuttosto che dall'altra. Perciò, resta fermo e muore.
Paradosso delle due buste:In un ipotetico gioco a premi, al concorrente vengono presentate due buste chiuse, ciascuna contenente l'indicazione di un premio in denaro, che il concorrente riceverà, se la sceglie. È noto che il valore indicato in una busta è esattamente il doppio di quello dell'altra, ma non si sa quale delle due contenga il premio maggiore.
Il concorrente può ottenere il premio di una sola busta, ma gli viene data la possibilità di effettuare la scelta definitiva anche dopo aver aperto a suo piacere una busta ed averne visto il valore.
Paradosso del Comma 22:Articolo 12, Comma 21
«L'unico motivo valido per chiedere il congedo dal fronte è la pazzia.»
Articolo 12, Comma 22«Chiunque chieda il congedo dal fronte non è pazzo.»
Paradosso dei corvi di Hempel:
Esaminando ad uno ad uno un milione di corvi, notiamo infallibilmente ed invariabilmente che essi sono tutti neri. Dopo ogni osservazione, perciò, la teoria che tutti i corvi siano neri diviene ai nostri occhi sempre più probabilmente vera, coerentemente col principio induttivo. Pare ogni volta sempre più corretto registrare l'assunto come probabilmente vero: tutti i corvi sono neri.
Paradosso di Curry:
Il paradosso consiste nell’affermare una proposizione del tipo: “Se questa frase è vera, allora Babbo Natale esiste”. Bisogna anzitutto considerare che questo enunciato è di tipo autoreferenziale, ovvero il termine “questa frase” in esso contenuto vuole indicare l’intera espressione. In sostanza, si tratta di formulare l’enunciato A, dove per A si intende la proposizione “Se A è vero, allora Babbo Natale esiste”. Valendosi delle regole della logica del primo ordine, appare facile mostrare come questa affermazione non possa che essere vera. Si procede così: supponiamo che l’enunciato A sia falso. Allora, per la legge dell’implicazione materiale, l’unica possibilità ammessa è che l’antecedente di questa condizionale (“Se A è vero”) assuma il valore di verità, mentre il conseguente (“Allora Babbo Natale esiste”) assuma quello di falsità. Ma sostenere che l’antecedente è vero equivale a definire vero A, contraddicendo in tal modo l’ipotesi effettuata. Dunque dobbiamo necessariamente concludere che l’enunciato A è vero, e questo ci obbliga, sempre per effetto delle regole dell’implicazione, a dichiarare vera anche la proposizione “Babbo Natale esiste”. Infatti, in una formula condizionale vera in cui sia vero l’antecedente, il conseguente risulta anch’esso vero. È poi ovvio che si può sostituire all’espressione “Babbo Natale esiste” un enunciato B qualsiasi, che faccia un’asserzione qualunque.
Paradosso di Downs e Thomson (o di Pigou, Knight e Downs):
la velocità di equilibrio del traffico automobilistico in una rete stradale è determinata dalla velocità media "porta a porta" di un viaggio equivalente con un mezzo pubblico.
Paradosso dell'edonismo: l’impulso al piacere, se eccessivo, viene a vanificare il suo stesso fine. Ciò porta ad una limitazione intrinseca dell'egoismo intrinseco dell'essere, una limitazione allo stesso Edonismo e, più in particolare, una limitazione al pensiero dell'Utilitarismo.
Alcuni piaceri, come quelli intellettuali e creativi, verrebbero negati all'essere. Ne consegue che, per raggiungerli in misura accettabile, essi richiedono la preesistenza di un desiderio intrinseco all'essere di fare del bene agli altri, ma non per il solo obiettivo di provocare il proprio esclusivo piacere.
Paradosso dell'edonismo: l’impulso al piacere, se eccessivo, viene a vanificare il suo stesso fine. Ciò porta ad una limitazione intrinseca dell'egoismo intrinseco dell'essere, una limitazione allo stesso Edonismo e, più in particolare, una limitazione al pensiero dell'Utilitarismo.
Alcuni piaceri, come quelli intellettuali e creativi, verrebbero negati all'essere. Ne consegue che, per raggiungerli in misura accettabile, essi richiedono la preesistenza di un desiderio intrinseco all'essere di fare del bene agli altri, ma non per il solo obiettivo di provocare il proprio esclusivo piacere.
Paradosso di Epicuro:Il paradosso si basa su alcune domande (anche rese affermazioni), attraverso le quali Epicuro procede per gradi fino a rendere, appunto, paradossale il concetto di Dio.
Le domande sono le seguenti;
- Dio vuole impedire il male, ma non può? (Dio non risulterebbe onnipotente, e ciò non è possibile).
- Dio può evitare il male, ma non vuole? (Dio risulterebbe cattivo, e ciò non è possibile).
- Dio non può e non vuole evitare il male? (Dio risulterebbe cattivo e impotente, e ciò non è possibile).
Questa è la conclusione alla quale giunge Epicuro al termine di queste ipotesi.
Paradosso del mentitore (o di Epimenide):Data una proposizione autonegante come "Questa frase è falsa", nessuno riuscirà mai a dimostrare se tale affermazione sia vera o falsa;
se infatti fosse vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa (la verità della proposizione non invalida la falsità espressa nel contenuto della proposizione).
se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse "Questa frase è vera") quando abbiamo appena affermato il contrario.
Paradosso di Fermi:
"Dove sono tutti quanti? Se ci sono così tante civiltà evolute, perché non abbiamo ancora ricevuto prove di vita extraterrestre come trasmissioni di segnali radio, sonde o navi spaziali?". Estremizzando la questione, il problema diventa se noi esseri umani siamo la sola civiltà tecnologicamente avanzata dell'Universo. Questo problema viene usualmente posto come monito alle stime più ottimistiche dell'equazione di Drake, che proporrebbero un universo ricco di pianeti con civiltà avanzate, in grado di stabilire comunicazioni radio, inviare sonde o colonizzare altri mondi.
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